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Una lampada del Duomo di Pisa del Seicento.

Con lo sviluppo del metodo sperimentale, Galileo ideò sia nuovi esperimenti per lo studio dei fenomeni naturali, sia ingegnosi dispositivi e strumenti di misura.
In questo articolo descriviamo le soluzioni innovative introdotte da Galileo per misurare il tempo nei suoi esperimenti per la determinazione della legge di caduta dei gravi.
Faremo questo, riportando anche alcuni brani con cui Galileo descrive con una prosa straordinaria tali esperimenti (a giudizio di Calvino Galileo è stato tra i più grandi scrittori di prosa italiani).

1. L’isocronismo del pendolo
All’età di circa vent’anni, Galileo si trovava nella città di Pisa dove, per consiglio del padre, si era applicato allo studio della filosofia e della medicina. Vincenzo Viviani scrive:
“Essendo un giorno nel Duomo di quella città, curioso e accortissimo che egli era, gli venne in mente di misurare dal moto di una lampada, che era stata allontanata dal perpendicolo da un colpo di vento, se per avventura i tempi dell’andata e tornata di quella, tanto per gli archi grandi, che per i medi e minimi, fossero uguali. Fece questo misurando i tempi sia per mezzo delle battute del proprio polso, che con l’aiuto mentale del tempo della musica”.
Una lampada del Duomo di Pisa del seicento, oggi esposta nel vicino Camposanto Monumentale, è mostrata in fig. a.

Ecco come Galileo per bocca di Salviati, nei “Dialoghi sopra I due Massimi Sistemi del Mondo”, enuncia le proprietà dell’isocronismo:
"L'altro particolare, veramente maraviglioso, è che il medesimo pendolo fa le sue vibrazioni con l'istessa frequenza, o pochissimo e quasi insensibilmente differente, sien elleno fatte per archi grandissimi o per piccolissimi dell'istessa circonferenza.”
Questa scoperta è stata in seguito sviluppata ed esposta nei suoi “Discorsi e dimostrazioni matematiche sopra due nuove scienze” (Giornata prima):
“…..e finalmente ho preso due palle, una di piombo ed una di sughero, quella ben più di cento volte più grave di questa, e ciascheduna di loro ho attaccata a due sottili spaghetti eguali, lunghi quattro o cinque braccia, legati ad alto; allontanata poi l'una e l'altra palla dallo stato perpendicolare, gli ho dato l'andare nell'istesso momento,….. hanno sensatamente mostrato, come la grave va talmente sotto il tempo della leggera, che né in ben cento vibrazioni, né in mille, anticipa il tempo d'un minimo momento, ma camminano con passo egualissimo..”.
Oltre all’isocronismo, quindi, Galileo scopre che pendoli di ugual lunghezza, ma fatti uno di piombo e uno di sughero, hanno lo stesso periodo. L’indipendenza dalla massa è una fondamentale scoperta sperimentale che porterà alla equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale e che è alla base sia della teoria della gravitazione universale di Newton che della relatività generale di Einstein.
L’indipendenza dall’ampiezza, cioè l’isocronismo, e l’indipendenza dalla massa, rendono inoltre semplice tarare pendoli di lunghezza nota ricavandone in tal modo “semplici misuratori del tempo”.
Il grande pisano aveva quindi uno strumento di grande semplicità e precisione per misurare intervalli di tempo in ambito fisico e astronomico. Nelle osservazioni astronomiche, infatti, per misurare il tempo Galileo si serviva del pendolo, che sempre costituì il suo orologio primario (ne aveva uno di cui conosceva il periodo esatto con una incertezza di poche oscillazioni per giorno, perché aveva enumerato le oscillazioni fatte in 24 ore tra due successivi passaggi di una stella). Inoltre, per merito di Galileo, il pendolo trovò applicazione anche in medicina, come misuratore delle frequenze cardiache.
Molti anni più tardi, Galileo propose l'utilizzo del pendolo come meccanismo regolatore degli orologi, ne abbozzò un progetto, ma ormai vecchio e cieco, non riuscì a realizzarlo, e l'orologio a pendolo venne costruito solo nel 1657 da Huygens.

2. La misura del tempo e la legge del moto naturalmente accelerato
La meccanica galileiana così come la conosciamo nei “Discorsi”, pubblicati per la prima volta a Leida nel 1638, è il punto di arrivo di oltre 40 anni di studi, avviati a Pisa e proseguiti poi a Padova tra il 1588 e il 1610. Non sappiamo perché Galileo abbia pubblicato i suoi risultati solo nel 1638, ma è possibile tuttavia ricostruire il suo percorso scientifico dai suoi appunti, dalle sue lettere e dalle sue note. Per esempio, in una lettera del 16 ottobre 1604 all’amico fra’ Paolo Sarpi, apprendiamo che già nel 1604 Galileo aveva scoperto col piano inclinato la sua legge dei numeri caffi, ossia dispari, che, come vedremo, altro non è che la legge della caduta dei gravi.
Rimane però difficile ricostruire quali “replicate esperienze” siano state davvero realizzate da Galileo e questo porta inevitabilmente a chiedersi cosa ci sia di verosimile e cosa invece di leggendario nei vari aneddoti riportati.
A questo proposito, diciamo subito che non è credibile, e rimane quindi una leggenda, che Galileo abbia studiato il moto di caduta libera dei gravi lasciando cadere diversi oggetti dalla Torre di Pisa.
In ogni caso, Galileo si rese conto che non era possibile analizzare la caduta dei gravi lungo la verticale, perché i tempi di caduta sono troppo brevi e non possono essere misurati. Genialmente risolse il problema, facendo rotolare delle sfere lungo piani inclinati, allungando così i tempi di caduta fino ad alcuni secondi e rendendoli misurabili con maggior precisione. In questo modo, quanto maggiore è l’inclinazione, tanto più il corpo si avvicina alle condizioni di caduta libera. Galileo cercava la legge che regolava i due tipi di caduta, verticale e lungo i piani di diversa inclinazione.
Si tratta per la sua epoca di esperimenti molto difficili, soprattutto per la misura del tempo di caduta dell’ordine di alcuni secondi. Galileo aveva studiato la caduta lungo un piano inclinato misurando gli intervalli di tempo con strumenti sempre più precisi: prima contando i battiti del polso, poi usando i tempi di battuta musicali, quindi usando il pendolo e, infine, con l’orologia ad acqua.
La storia degli esperimenti con il piano inclinato è affascinante.
Dalla lettera a fra’ Paolo Sarpi e da altri manoscritti di Galileo studiati e interpretati da S. Drake nel 1973, otteniamo un’idea del primo piano inclinato utilizzato da Galileo. Nell’esperimento da lui inventato, il punto chiave è quello di determinare intervalli spaziali percorsi in tempi uguali.
Secondo la ricostruzione fatta da Drake, Galileo misurò gli spazi, dapprima misurando intervalli temporali uguali usando il battito del polso e poi disponendo sul percorso del piano inclinato sbarrette mobili trasversali di budello, del tipo usato nei primi strumenti a corde. La sferetta, rotolando giù per il canaletto, quando passava su una sbarretta produceva un lieve suono. Galileo correggeva le posizioni delle sbarrette di budello in modo che una palla liberata nella parte più alta del piano inclinato le colpisse con un ritmo regolare. Una volta che, grazie al suo orecchio musicale, aveva individuato le posizioni corrispondenti a intervalli di tempo uguali, tutto quel che doveva fare era misurare le distanze fra le sbarrette. Fissando come unità di spazio quello percorso nella prima unità di tempo, si accorse che il secondo intervallo percorso nella stessa unità temporale era pari a 3 unità, che lo spazio successivo era di 5 unità e così via. Gli spazi percorsi in intervalli di tempo uguali da un corpo in caduta libera aumentano secondo la sequenza 1,3,5,7,… cioè la serie dei numeri dispari: i numeri caffi.
In altre parole, osservando che i successivi spazi percorsi differiscono tra loro come la serie dei numeri dispari a partire da uno, Galileo dimostrò sperimentalmente che lo spazio percorso in caduta è proporzionale al tempo al quadrato. Partendo perciò dalla quiete se nel primo tempo lo spazio è 1, raddoppiando il tempo la spazio diventa 1+3 = 4 volte, triplicando il tempo lo spazio diventa 1+3+5 = 9 volte, quadruplicando il tempo lo spazio diventa 1+3+5+7 = 16 volte il primo e così via…
Galileo dedusse che…:
“Le distanze dunque dal principio del moto sono come i quadrati de i tempi et, dividendo gli spazii passati in tempi eguali sono come i numeri impari ab unitate: che risponde a quello che ho sempre detto et con esperienze osservato: e così tutti i veri si rispondono”.
La legge, dunque, ha una origine sperimentale e il “sempre” rivela che Galileo stava conducendo da tempo esperimenti sul moto naturalmente accelerato.
La lettera e il manoscritto, ci dicono qualcosa di più: Galileo nei suoi esperimenti si doveva probabilmente servire anche del pendolo. Ragionando con le parole di oggi, possiamo pensare al pendolo come a un orologio digitale: 1, 2, 3…, dove l’unità è costituita da una oscillazione. Con il pendolo si ha a disposizione un misuratore di successive durate sempre uguali. Nel 1764 Carlo Alfonso Guadagni verificò la legge dei numeri dispari, realizzando un esperimento in cui dei campanellini mobili posizionati lungo il piano inclinato svolgono il ruolo dei budelli e un pendolo misura gli intervalli di tempo come mostrato in fig. b.

In seguito, per migliorare ancora la precisione della misura degli intervalli di tempo, Galileo progettò e costruì un orologio ad acqua realizzando così l’esperimento descritto nei “Discorsi”. Rispetto al pendolo, il nuovo apparato gli permise una misura continua del tempo.
Ma lasciamo la parola a Galileo, da i “Discorsi e dimostrazioni matematiche sopra due nuove scienze” (Giornata terza):
“Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d'acqua, attaccata in alto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d'acqua,… tali operazioni, molte e molte volte replicate, già mai non differivano d'un notabil momento”.
Galileo intuì e assumette giustamente che il flusso attraverso il cannellino è costante e quindi misura il tempo attraverso la misura del peso dell’acqua raccolta tra l’apertura e la chiusura. I rapporti tra pesi di diversi intervalli erano così uguali ai rapporti dei tempi corrispondenti. Notiamo che per determinare la dipendenza dal tempo dello spazio percorso, non era necessario per Galileo riferirsi a una determinata unità di misura per il tempo. Sottolineamo che già ai tempi di Galileo si potevano fare pesate di grande precisione con mezzi semplici (con precisioni del mezzo grammo, infatti, pesando 100 cc. di acqua si raggiunge una incertezza dello 0.5%).
L’intuizione brillante dell’orologio ad acqua risiede quindi sia nel realizzare condizioni di flusso costante dal cannellino, sia nello sfruttare la precisione della bilancia. La precisione è determinata dalla riduzione al minimo dei tempi di reazione dello sperimentatore, in particolare dalla sincronizzazione mano-orecchio (sentendo il botto alla fine), che è meglio di quella occhio-mano. Questo ha permesso a Galileo di raggiungere una precisione migliore del decimo di secondo.

L’apparato sperimentale descritto da Galileo, e visibile in fig. c, può essere così schematizzato:
• un piano inclinato su cui si fa rotolare la sfera;
• un blocco di legno che può esser fissato in posizioni variabili sul piano;
• un secchio d’acqua, inizialmente pieno e con un cannello saldato sul fondo, che può essere chiuso con un dito e dal quale l’acqua viene versata in un “piccol bicchiero”.
Il modo di operare era il seguente:
• Galileo posa la sfera sul piano e con l’altra mano tiene chiuso il cannello;
• con prestezza lascia andare la sfera e apre simultaneamente il cannello;
• quando sente l’urto della sfera con il blocco di legno chiude il cannello;
• pesa infine “con esattissima bilancia” la quantità di acqua uscita dal secchio e raccolta nel “piccol bicchiero”.
Assicurandosi che il livello dell’acqua nel secchio sia sempre lo stesso, la velocità di deflusso dell’acqua a foro aperto è costante e quindi la quantità di acqua defluita misura il tempo trascorso, e l’esperimento permette di studiare come varia il tempo di caduta in funzione degli altri parametri (inclinazione del piano e spazio percorso dalla sfera). Il secchio forato venne dunque usato come una clessidra ad acqua.
Ma leggiamo ancora Galileo:
“… In un regolo, o vogliàn dir corrente, di legno, lungo circa 12 braccia, e largo per un verso mezo bracio e per l'altro 3 dita, si era in questa minor larghezza incavato un canaletto, poco più largo d'un dito; tiratolo drittissimo, e, per averlo ben pulito e liscio, incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, si faceva in esso scendere una palla di bronzo durissimo, ben rotondata e pulita; … facemmo scender la medesima palla solamente per la quarta parte della lunghezza di esso canale; e misurato il tempo della sua scesa, si trovava sempre puntualissimamente esser la metà dell'altro: e facendo poi l'esperienze di altre parti, esaminando ora il tempo di tutta la lunghezza col tempo della metà, o con quello delli duo terzi o de i 3/4, o in conclusione con qualunque altra divisione, per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati e i tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale si faceva scender la palla; dove osservammo ancora, i tempi delle…”.

Questo risultato è noto come legge di Galileo: per una data inclinazione I rapporti tra le distanze percorse dal corpo sono direttamente proporzionali ai rapporti dei quadrati degli intervalli di tempo trascorsi (e questo è valido indipendentemente dall’angolo di inclinazione del piano).
È una delle prime leggi della storia della fisica e fa di Galileo il padre della fisica sperimentale.
È importante notare come per Galileo fosse cruciale ripetere l’esperimento più volte, per essere sicuro che le sue deduzioni delle proprietà quantitative dei fenomeni studiati non fossero imprecise o tratte in modo casuale: “per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati e i tempi”.
Nel “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (Giornata terza, nel capitolo della apparizione della “stella nova”), Galilei esprime alcune considerazioni qualitative, sicuramente originali, sulla distribuzione degli errori di una misurazione strumentale, in particolare affermando che:
• in una misurazione strumentale gli errori sono inevitabili;
• tali errori sono distribuiti simmetricamente rispetto a un valore centrale;
• gli errori piccoli sono più frequenti di quelli grandi;
• effettuando più misurazioni, la maggioranza dei valori si distribuisce intorno
al valore vero della grandezza che viene misurata.
Così Galilei, a proposito degli errori strumentali, anticipa qualitativamente di circa 200 anni le “conclusioni” di Gauss circa la legge di frequenza degli errori.

3. Verifiche dell’esperimento del piano inclinato
Fin dall’inizio, la novità introdotta da Galileo con il suo esperimento era così rivoluzionaria, che neanche filosofi della statura di Cartesio la capirono. Cartesio infatti, in una lettera a M. Mersenne e in altri scritti, critica con veemenza il metodo e le conclusioni di Galileo. Lo stesso M. Mersenne, probabilmente a causa di errori sia sperimentali che concettuali, non era stato in grado di riprodurre i risultati di Galilei. Perfino in tempi recenti alcuni autori hanno sostenuto di nuovo che questo e altri esperimenti descritti da Galileo nelle sue opere furono eseguiti soltanto nella mente dello scienziato.
Quanto da noi riassunto ben dimostra invece la genialità del metodo sperimentale introdotto da Galileo: si è posto un problema (s(t) nella caduta), l'ha studiato senza preconcetti (metodo), ha inventato brillanti soluzioni artigianali per la misura e ha genialmente ricostruito, da misure di diverso tipo e in diverse condizioni, una legge unica (giusta e fondamentale).
Negli anni passati, diversi lavori sono stati dedicati alla riproposta di esperimenti galileiani. Fra questi è rilevante quello di Settle, in cui l'esperienza del piano inclinato veniva ripetuta per capire se la verifica delle leggi del moto fosse effettivamente possibile. Settle, seguendo la procedura di Galileo sopra descritta, decise di usare solo “apparecchiature e procedimenti che fossero disponibili a Galileo o che non fossero intrinsecamente migliori di quelli che egli poteva usare nel Seicento”.
L’autore dimostra così che il metodo di misura basato su un piano inclinato e un orologio costruiti secondo le indicazioni di Galileo, raggiunge una precisione sostanzialmente inferiore al decimo di secondo e quindi ben accurato per verificare che distanze e tempi al quadrato sono direttamente proporzionali.
Il suo articolo è una guida eccellente ed è stato utilizzato per ricostruire l’apparato galileiano presso il Dipartimento di Fisica di Padova mostrato in fig. c.
Recentemente, in occasione del suo 100° Congresso Nazionale a Pisa, la Società Italiana di Fisica (Sif) ha organizzato uno spettacolo teatrale su Galileo, nel quale sono stati proiettati i seguenti video esperimenti (realizzati dal professor Alessandro Bettini con la ditta Cmela di Padova):

Link

www.illaboratoriodigalileogalilei.it/galileo/ILLABORATORIODIGALILEO.pdf

www.albany.edu/~scifraud/data/sci_fraud_0372.html